直角三角形内切圆半径的计算公式

直角三角形的内切圆半径公式可以通过几何方法推导如下：

1. **设定与标记** ：

设直角三角形的两条直角边长分别为 \\（a\\） 和 \\（b\\），斜边长为 \\（c\\）。内切圆的半径记为 \\（r\\）。

2. **几何关系** ：

内切圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径 \\（r\\）。设内切圆的圆心为 \\（O\\），三个切点分别为 \\（D\\）、\\（E\\）、\\（F\\）。连接 \\（OD\\）、\\（OE\\）、\\（OF\\），其中 \\（OD \\perp AC\\），\\（OE \\perp BC\\），\\（OF \\perp AB\\）。

3. **面积关系** ：

由于 \\（OD \\perp AC\\），\\（OE \\perp BC\\），所以三角形 \\（ABC\\） 的面积可以表示为：

\\[ \\text{面积} = \\frac{1}{2} \\times AC \\times BC = \\frac{1}{2} \\times a \\times b \\]

同时，这个面积也可以表示为三个小三角形 \\（OAD\\）、\\（OCE\\）、\\（OFB\\） 的面积之和：

\\[ \\frac{1}{2} \\times a \\times b = \\frac{1}{2} \\times r \\times AD + \\frac{1}{2} \\times r \\times BE + \\frac{1}{2} \\times r \\times CF \\]

4. **利用相似三角形** ：

由于 \\（OD = OE = r\\），四边形 \\（CDOE\\） 是正方形，所以 \\（CD = CE = r\\）。因此，\\（AD = b - r\\），\\（BE = a - r\\）。

5. **利用勾股定理** ：

由于 \\（AD = AF\\），\\（CE = CF\\），我们有：

\\[ AF = b - r \\]

\\[ CF = a - r \\]

又因为 \\（AF + CF = AB = c\\），所以：

\\[ b - r + a - r = c \\]

\\[ a + b - 2r = c \\]

6. **求解半径** ：

将上面的等式变形得到内切圆半径 \\（r\\）：

\\[ r = \\frac{a + b - c}{2} \\]

这就是直角三角形内切圆半径的公式

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